x的平方加y的平方等于1,xy除以x加y的最大值

题目

x的平方加y的平方等于1,xy除以x加y的最大值
我算出来等于4分之根号2

答案

因为x²＋y²=1,则设：x=cosw,y=sinw,
则：M=(xy)/(x＋y)=(sinwcosw)/(sinw＋cosw)
由于(sinw＋cosw)²=1＋2sinwcosw
则设：sinw＋cosw=t∈[－√2,√2],则：sinwcosw=(1/2)(t²－1)
则：
M=(1/2)(t²－1)/(t)
=(1/2)[t－(1/t)]
考虑到函数t－(1/t)是递增的,则其最大值是当t=√2时取得的,M的最大值是√2/4