如图，在⊙O中，∠ACB=∠BDC=60°，AC=23cm． （1）求∠BAC的度数；（2）求⊙O的周长．

题目

如图，在⊙O中，∠ACB=∠BDC=60°，AC=2

3

cm．

（1）求∠BAC的度数；（2）求⊙O的周长．

答案

（1）∠BAC=∠BDC=60°（同弧所对的圆周角相等）；
（2）∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=60°，
∴△ABC是等边三角形，
作OE⊥AC于点E，连接OA，则OA平分∠BAC，
∴∠OAE=30°，
∴OA=

AE

cos∠OAE

＝

3

cos30°

=2cm，
所以⊙O的周长=2π×2=4πcm．

（1）由圆周角定理得，∠A=∠D=60°；
（2）由三角形内角和得∠ABC=60，°所以△ABC是等边三角形，作OE⊥AC，连接OA，由垂径定理得，AE=CE=

1

2

AC=

3

cm，再由余弦的概念求得半径OA的长，由圆的周长公式求得周长．

本题考点：圆周角定理；等边三角形的性质；圆的认识；解直角三角形．

考点点评：本题利用了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，垂径定理，余弦的概念，圆周长公式求解．