已知满足不等式|x2-4x+p|+|x-3|≤5的x的最大值为3,则实数p的值为( ) A.-2 B.8 C.-2或8 D.不能确定
题目
已知满足不等式|x2-4x+p|+|x-3|≤5的x的最大值为3,则实数p的值为( )
A. -2
B. 8
C. -2或8
D. 不能确定
答案
∵满足不等式|x2-4x+p|+|x-3|≤5的x的最大值为3,
∴“3”是不等式解的一个端点值,
∴“3”是对应方程|x2-4x+p|+|x-3|=5的一个解,代入得p=8或p=-2.
若p=8,x2-4x+8=(x-2)2+4>0,
∴|x2-4x+8|+|x-3|≤5⇔x2-4x+8+|x-3|≤5,
若x>3,则x2-4x+8+x-3≤5,解得0≤x≤3,故x不存在;
若x≤3,则x2-4x+8+3-x≤5,解得2≤x≤3,
∴x的最大值为3,符合题意.
当p=-2时,不等式为|x2-4x-2|+|x-3|≤5,易知5是不等式的解,故不等式有大于3的解,不满足题意.所以p=8.
综上所述,p=8.
故选B.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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