求证：无论k取何值,直线(2+k)x-(1+k)y-2(3+2k)=0与P(-2,2)的距离d恒小于4根号2

题目

求证：无论k取何值,直线(2+k)x-(1+k)y-2(3+2k)=0与P(-2,2)的距离d恒小于4根号2

答案

证：
由点到直线的距离公式：点(x0,y0)到直线a*x+b*y+c=0的距离为：
|a*x0+b*y0+c|/√[a^2+b^2].
所以d=|-2*(2+k)-2*(1+k)-2*(3+2k)|/√[(2+k)^2+(1+k)^2]
=|12+8*k|/√[5+6*k+2*k^2]=8*|k+3/2|/√[2*(k+3/2)^2+1/2],
当|k+3/2|=0时,即k=-3/2时,d=0,结论显然成立.
当|k+3/2|≠0时,即k≠-3/2时,
d=8/√[2*(k+3/2)^2+1/(2*(k+3/2)^2)],
设u=2*(k+3/2)^2,则u>0,u+1/u≥2*√(u*1/u)=2,
所以d=8/√(u+1/u)≤8/√2=4√2.
等号当且仅当u=1/u即u=1,k=(-3±√2)/2时,成立.
证毕.