如图,三角形ABC中,角BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B,C重合)角ADE=45°

题目

如图,三角形ABC中,角BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B,C重合)角ADE=45°

答案

1.∵△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=1,∴∠ABC=∠ACB=45°．∵∠ADE=45°,∴∠BDA+∠CDE=135°．又∠BDA+∠BAD=135°,∴∠BAD=∠CDE．∴△ABD∽△DCE． ∴ AB/CD=BD/CE；∵BD=x,∴CD=BC-BD= √2-x．∴ 1/√(2-x)=x/CE,∴CE= √2*x-x^2．∴AE=AC-CE=1- (√2*x-x^2）=x^2-√ 2*x+1．即y=x^2-√2*x+1． 2.∠DAE＜∠BAC=90°,∠ADE=45°,∴当△ADE是等腰三角形时,第一种可能是AD=DE．又∵△ABD∽△DCE,∴△ABD≌△DCE．∴CD=AB=1．∴BD= √2-1．∵BD=CE,∴AE=AC-CE=2-√ 2．当△ADE是等腰三角形时,第二种可能是ED=EA．∵∠ADE=45°,∴此时有∠DEA=90°．即△ADE为等腰直角三角形．∴AE=DE= 1/2AC= 1/2．因此AE的长为2- √2或 1/2