关于气体动理论方均根速率的问题.

题目

关于气体动理论方均根速率的问题.
V(rms)=(3RT/M)^0.5,若V(rms)=c=300000000m/s,那么可以解出T≈3.610×10^12K,那么当理想气体温度超过3.610×10^12K时该理想气体中有大量粒子速度会大于c,是不是公式在那样的条件下就不适用了,还是“理想气体”在那时出了问题?

答案

这个公式是玻尔兹曼分布在非相对论近似下的结论,不能用于接近光速的情况.
玻尔兹曼分布说的是相空间的态密度正比于exp(-E/kT),方均根速率就是
v(rms) =sqrt(∫dΩ v^2 * exp(-E/kT) / ∫dΩ exp(-E/kT))
其中dΩ是相空间的体积元,dΩ=dpx*dpy*dpz*dx*dy*dz
在非相对论近似下,E=0.5mv^2=p^2/(2m),算出来的就是v(rms)=sqrt(3kT/m)
但如果是相对论极限下,E=sqrt(m^2c^4 + p^2c^2)≈cp,v≈c,算出来v(rms)≈c,跟温度无关
所以温度可以任意高,粒子速度不会超过光速.