高等代数证明

题目

高等代数证明
求解高等代数题
设A,B为n阶半正定矩阵,证明:AB的特征值全是非负实数

答案

任意的向量X,有X^T A X 及X^T B X 大于等于0,
那么X^T AB X = XX^T(X^T A B X)/XX^T=(X^T A X X^TB X)/XX^T,
又有XX^T大于等于0,所以X^T AB X 大于等于0,
即矩阵AB半正定,所以它的特征值全是非负实数.