设函数f(x)=loga(3-2x-x2),其中a>0,且a≠1.(1)当a=1/2时,求函数f(x)的单调递增区间;(2)若函数f(x)在区间[-1-2,-1+2]上的最大值与最小值之差为2,求实数
题目
设函数f(x)=log
a(3-2x-x
2),其中a>0,且a≠1.
(1)当a=
时,求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若函数f(x)在区间[-1-
,-1+
]上的最大值与最小值之差为2,求实数a的值.
答案
由3-2x-x
2>0,解得-3<x<1,即f(x)的定义域为(-3,1).
(1)当
a=时,
f(x)=log(3-2x-x2).
令
u=3-2x-x2,y=logu.
∵u=-(x+1)
2+4,∴其图象的对称轴为x=-1,
∴u=3-2x-x
2在区间[-1,1)上是减函数,
又∵
y=logu是减函数,
∴函数f(x)的单调递增区间是[-1,1).
(2)∵
-1-≤x≤-1+,且u=-(x+1)
2+4,
∴2≤u≤4.
①当a>1时,f(x)在[-1-
,-1+
]上的最大值与最小值分别为log
a4,log
a2,
则log
a4-log
a2=2,解得
a=;
②当0<a<1时,f(x)在[-1-
,-1+
]上的最大值与最小值分别为log
a2,log
a4,
则log
a2-log
a4=2,解得
a=.
(1)先求出f(x)的定义域,然后f(x)可分解为
u=3−2x−x2,y=logu,根据复合函数单调性的判断方法可求得f(x)的增区间,注意增区间为定义域的子集;
(2)由
−1−≤x≤−1+,及u=-(x+1)
2+4可求得u的范围,然后分a>1,0<a<1两种情况进行讨论,根据对数函数的单调性可求得f(x)的最大值、最小值,根据最大值与最小值之差为2可得a的方程,解出即可;
复合函数的单调性;对数函数图象与性质的综合应用.
本题考查复合函数单调性的判断、对数函数和二次函数的单调性及其应用,考查学生综合运用知识解决问题的能力.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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