已知函数f(x)=6x^2∫01f(x)dx+x-1/3lim(x→1)f(x),求函数f(x)的表达式.(01是定积分上下限）

题目

已知函数f(x)=6x^2∫01f(x)dx+x-1/3lim(x→1)f(x),求函数f(x)的表达式.(01是定积分上下限）

答案

f(x)=6x^2∫01f(x)dx+x-1/3lim(x→1)f(x),
对上式两边求极限x->1时
lim(x->1)f(x)=6∫01f(x)dx+1-1/3lim(x->1)f(x)
lim(x->1)f(x)=9/2∫01f(x)dx+3/4
所以f(x)=6x^2∫01f(x)dx+x-3/2∫01f(x)dx-1/4
对上式两边求定积分
∫01f(x)dx=∫01f(x)dx*∫01 6x^2dx+∫01 xdx-3/2∫01f(x)dx-1/4
∫01f(x)dx=2∫01f(x)dx-3/2∫01f(x)dx-1/4
∫01f(x)dx=-1/2
lim(x->1)f(x)=9/2*(-1/2)+3/4=-3/2
f(x)=-3x^2+x+1/2