已知g(x)=-x^2-2,f(x)是二次函数,且当x∈[-1,2]时,f(x)的最小值是1,f(x)+g(x)为奇函数,求f(x)的解析式

题目

已知g(x)=-x^2-2,f(x)是二次函数,且当x∈[-1,2]时,f(x)的最小值是1,f(x)+g(x)为奇函数,求f(x)的解析式

答案

当x∈[-1,2]时,f(x)的最小值是1,因此可设f(x)=a(x-u)^2+1,a>0,
f(x)+g(x)=a(x-u)^2+1-x^2-2=(a-1)x^2-2aux+au^2-1
-f(x)-g(x)=(1-a)x^2+2aux-au^2+1
f(-x)+g(-x)=(a-1)x^2+2aux+au^2-1
f(x)+g(x)为奇函数,f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)
即(1-a)x^2+2aux-au^2+1=(a-1)x^2+2aux+au^2-1
有1-a=a-1
-au^2+1=au^2-1
解得,a=1,u=±1.
f(x)=(x-1)^2+1或f(x)=(x+1)^2+1