f(n)=1-2^(-2n),证明f(1)f(2)f(3).f(n)>1/2.
题目
f(n)=1-2^(-2n),证明f(1)f(2)f(3).f(n)>1/2.
答案
1)首先证明
(4^n+1)(4^(n+1)-1)>4^n(4^(n+1)+1)
证明:
左-右
=[4^(2n+1)+3*4^n-1] - [4^(2n+1)+4^n]
=2*4^n-1>0
2)
f(n)=(4^n-1)/4^n;
P=f(1)f(2)f(3)...f(n)
=(4-1)/4*(4^2-1)/4^2 *(4^3-1)/4^3...(4^n-1)/4^n
=(4-1)*(4^2-1)*(4^3-1)*...*(4^n-1)/[4*4^2*4^3*...*4^n]
对于前两项3*15=45>34=2*17=2*(4^2+1)
所以
P>2*(4^2+1)*(4^3-1)*...*(4^n-1)/[4*4^2*4^3*...*4^n]
再反复应用1)的结论
P>2*4^2*(4^3+1)*(4^4-1)*...*(4^n-1)/[4*4^2*4^3*...*4^n]
>2*4^2*4^3*(4^4+1)(4^5-1)*...*(4^n-1)/[4*4^2*4^3*...*4^n]
...
>2*4^2*4^3*4^4*...*4^(n-1)*(4^n+1)/[4*4^2*4^3*...*4^n]
=2*(4^n+1)/(4*4^n)
>2*4^n/(4*4^n)
>1/2
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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