用向量法在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,P分别是BC,A1D1的中点,M,N分别是AE,CD1的中点,AD=AA1=a,AB=2a.

题目

用向量法在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,P分别是BC,A1D1的中点,M,N分别是AE,CD1的中点,AD=AA1=a,AB=2a.
求P到面DEN的距离

答案

以DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则A(a,0,0),C(0,2a,0),B(a,2a,0),D1(0,0,a),A1(a,0,a),
∴BC的中点E为(a/2,2a,0),A1D1的中点P为(a/2,0,a).CD1的中点N为(0,a,a/2).
∴向量DE=(a/2,2a,0),DN=(0,a,a/2),
设平面DEN的法向量m=(n,p,1),则
m*DE=a(n/2+2p)=0,n=-4p,
m*DN=a(p+1/2)=0,p=-1/2,n=2.m=(-1/2,2,1),|m|=√21/2.
P到面DEN的距离=|向量DP*m|/|m|=|-a/4+a|/(√21/2)=(3√21/42)a.