已知数列{an}满足a1=2,且anan+1+an+1-2an=0（n∈N+）． （1）求a2、a3、a4的值； （2）猜想数列{an}...

题目

已知数列{an}满足a1=2,且anan+1+an+1-2an=0（n∈N+）． （1）求a2、a3、a4的值； （2）猜想数列{an}...
已知数列{an}满足a1=2,且anan+1+an+1-2an=0（n∈N+）．
（1）求a2、a3、a4的值；
（2）猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳法加以证明．

答案

an*a(n+1)+a(n+1)=2an
两边同时除以an*(an+1)
得:
1+1/an=2/a(n+1)
设：bn=1/an
则：2b(n+1)=bn+1
2[b(n+1)-1]=bn-1
[b(n+1)-1]/[bn-1]=1/2
则：{bn-1}为公比为1/2的等比数列
则：bn-1=(b1-1)*(1/2)^(n-1)
=(1/a1-1)*(1/2)^(n-1)
=-(1/2)^n
则；bn=1-(1/2)^n
又bn=1/an
则：an=1/[1-(1/2)^n]
=[2^n]/[2^n-1]