设函数f（x)在负无穷到正无穷内连续,且F（x）=∫（0到x）（x-2t）f（t)dt,

题目

设函数f（x)在负无穷到正无穷内连续,且F（x）=∫（0到x）（x-2t）f（t)dt,
试证f(x)为偶函数,则F（x）也为偶函数.符号不太会打,

答案

若f(-x)=f(x)
则 F（-x）=∫（0到-x）（-x-2t）f（t)dt=∫（0到x）（-x+2t）f（-t)d(-t) （设-t=t)
=∫（0到x）-（-x+2t）f（t)dt）=∫（0到x）（x-2t）f（t)dt=F(x)
所以 F（x）也为偶函数