a1=1,a2=3,a下标(n+2)=a下标(n+1)-2an,求证{a下标(n+1)-an}为等比数列,并求出an

题目

a1=1,a2=3,a下标(n+2)=a下标(n+1)-2an,求证{a下标(n+1)-an}为等比数列,并求出an

答案

证明:
因为a(n+2)=a(n+1)-2a(n)
所以可设[a(n+2)-a(n+1)]/[a(n+1)-a(n)]=k
展开得,a(n+2)=(k-1)a(n+1)-ka(n)
对比得k=2
所以[a(n+2)-a(n+1)]/[a(n+1)-a(n)]=2
即{a下标(n+1)-an}为公比为2的等比数列
所以:a(n+1)-a(n)=(a2-a1)*q^(n-1)
因为a1=1,a2=3
所以a(n+1)-a(n)=2*2^(n-1)=2^n
所以a(n)-a(n-1)=2^(n-1)
a(n-1)-a(n-2)=2^(n-2)
..........
...
a2-a1=2^1=2
a1=a1=1
以上各式相消得:
a(n)=1+2+2^2+2^3+.+2^(n-1)=2^n-1