二元函数问题

题目

二元函数问题
函数f(x,y)=xy/√(x²+y²)〔当x²+y²≠0时〕；=0〔当x²+y²=0时〕在(0,0)处是否连续?偏导数是否存在?

答案

因为|xy|<√(x²+y²)/2,
所以0<|f(x,y)|<√(x²+y²)/2,
由夹逼法√((x-0)²+(y-0)²)->0时,f(x,y)->0=f(0,0),所以在(0,0)连续.
(f(x,0)-f(0,0))/(x-0)=0,(f(0,y)-f(0,0))/(y-0)=0,所以关于x,y偏导按定义在（0,0）皆存在,值皆为0.