已知命题P:方程4的x次方+2的x次方×m+1=0有实根.若命题P的否定是假命题,则实数m的取值范围

题目

已知命题P:方程4的x次方+2的x次方×m+1=0有实根.若命题P的否定是假命题,则实数m的取值范围

答案

原方程可化为(2^x)^2+m(2^x)+1=0,这是关于2^x的2次方程,
由一元二次方程根的判别式△=m^2-4×1×1≥0,得m≤-2或m≥2.…………①
又2^x＞0,由一元二次方程的根与系数之间关系知,m＜0………………②
综合①②得m≤-2.
或者用换元法：
设2^x=y,则原方程化为y^2+my+1=0,设此方程的根为y1,y2,
因为2^x＞0,所以y1＞0,y2＞0,y1+y2=-m＞0,得m＜0；
再由一元二次方程根的判别式△=m^2-4×1×1≥0,得m≤-2或m≥2.
故m≤-2.