在自然数集N上定义一个函数y=f(x),已知f(1)+f(2)=5.当x为奇数时,f(x+1)-f(x)=1,当x为偶数时f(x+1)-f(x)=3. (1)求证:f(1),f(3),f(5),…,f

在自然数集N上定义一个函数y=f(x),已知f(1)+f(2)=5.当x为奇数时,f(x+1)-f(x)=1,当x为偶数时f(x+1)-f(x)=3. (1)求证:f(1),f(3),f(5),…,f

题目
在自然数集N上定义一个函数y=f(x),已知f(1)+f(2)=5.当x为奇数时,f(x+1)-f(x)=1,当x为偶数时f(x+1)-f(x)=3.
(1)求证:f(1),f(3),f(5),…,f(2n-1)(n∈N+)成等差数列.
(2)求f(x)的解析式.
答案
(1)由
f(1)+f(2)=5
f(2)−f(1)=1
,解得f(1)=2,f(2)=3.
所以f(2n+1)-f(2n-1)=[f(2n+1)-f(2n)]+[f(2n)-f(2n-1)]=3+1=4,
所以f(1),f(3),f(5),…,f(2n-1)(n∈N+)成等差数列,公差为4.
(2)当x为奇数时,f(x)=[f(x)-f(x-1)]+[f(x-1)-f(x-2)]+…+[f(2)-f(1)]+f(1)=
(x−1)•4
2
+2=2x

当x为偶数时,f(x)=[f(x)-f(x-1)]+[f(x-1)-f(x-2)]+…+[f(2)-f(1)]+f(1)=
1
2
•1+
x−2
2
•3+2=2x−1

所以f(x)=
2x,x为奇数
2x−1,x为偶数
(1)利用条件建立方程组关系,利用f(1),f(3),f(5)的规律,结合等差数列的定义判断f(2n+1)-f(2n-1)是个常数即可.
(2)利用当x为奇数时,f(x+1)-f(x)=1,当x为偶数时f(x+1)-f(x)=3去,求出函数f(x)的解析式.

等差关系的确定;函数奇偶性的性质.

本题主要考查抽象函数的应用,以及等差数列的定义和判断,综合性较强.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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