如图,在正方形ABCD中,E为AD的中点,DF⊥CE于M,交AC于点N,交AB于点F,连接EN、BM.有如下结论:①△ADF≌△DCE;②MN=FN;③CN=2AN;④S△ADN:S四边形CNFB=2
题目
如图,在正方形ABCD中,E为AD的中点,DF⊥CE于M,交AC于点N,交AB于点F,连接EN、BM.有如下结论:①△ADF≌△DCE;②MN=FN;③CN=2AN;④S
△ADN :S
四边形CNFB =2:5;⑤∠ADF=∠BMF.其中正确结论的个数为( )
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
答案
①在△ADF和△DCE中,
,
∴△ADF≌△DCE,
故本选项正确;
②∵△ADF≌△DCE,
∴DE=AF,
∵AE=DE,
∴AE=AF,
在△ANF和△ANE中
,
∴△ANF≌△ANE,
∴NF=NE,
∵NM⊥CE,
∴NE>MN,
∴NF>MN,
∴MN=FN错误,
故本选项错误
;
③∵AF∥CD,
∴∠CDN=∠NFA,∠DCN=∠NAF,
∴△DCN∽△FAN,
又∵△ADF≌△DCE,且四边形ABCD为正方形,
∴AF=
AB=
DC,
∴
=
=2,
∴CN=2AN,
故本选项正确;
④连接CF,
设S
△ANF =1,
则S
△ACF =3,S
△ADN =2
,
∴S
△ACB =6,
∴S
四边形CNFB =5,
∴S
△ADN :S
四边形CNFB =2:5,
故本选项正确;
⑤延长DF与CB交于G,则∠ADF=∠G,
根据②的结论F为AB中点,即AF=BF,
在△DAF与△GBF中,
∠ADF=∠G ∠DAB=∠GBF=90° AF=BF
,
∴△DAF≌△GBF(AAS),
∴BG=AD,又AD=BC,
∴BC=BG,
又∵∠ADF=∠DCE,∠ADF+∠CDM=90°,
∴∠DCE+∠CDM=90°,
∴∠DMC=∠CMG=90°,
∴△CMG是直角三角形,
∴MB=BG=BC(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半),
∴∠G=∠BMF,
因此∠ADF=∠BMF,故选项正确.
所以正确的有①③④⑤共4个.
故选C.
①本题需先根据已知条件,得出△ADF与△DCE相似,即可得出结果. ②本题需先根据AE=AF,∠NAF=∠NAE,AN=AN这三个条件,得出△ANF≌△ANE,即可得出结论. ③本题需先根据AF∥CD,得出CN与AN的比值,即可求出结果. ④本题需先连接CF,再设S△ANF =1,即可得出S△ADN 与S四边形CNFB 的比值即可. ⑤在△DEN和△MFB中,根据已知条件,得出△DEN与△MFB全等,即可得出结果.
本题考点: 正方形的性质;三角形的面积;全等三角形的判定与性质.
考点点评: 本题主要考查了正方形的性质问题,在解题时要注意全等三角形、相似等知识的综合利用,在做题时要结合图形是解题的关键.
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