设二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+x2^2+x3^2+2αx1x2+2βx2x3+2x1x3通过正交变换X=PY化为标准型f=y1^2+2y3^2 试求

题目

设二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+x2^2+x3^2+2αx1x2+2βx2x3+2x1x3通过正交变换X=PY化为标准型f=y1^2+2y3^2 试求
试求常数α、β .
这里面有两个未知数,该怎么算呢?

答案

二次型的矩阵 A=
1 α 1
α 1 β
1 β 1
由已知,A的特征值为0,1,2
所以 |A|=0,得 |A|=-(α-β)^2=0
故 α=β
再由 |A-E|=0,得 |A-E|=2α^2=0
故 α=β=0