函数f(x)=alnx-bx^2(x≥0) 当b=0时,若不等式f（x）≥m+x对所有的a∈［0,3/2］,x∈(1,e^2］都成立,求m范围

题目

函数f(x)=alnx-bx^2(x≥0) 当b=0时,若不等式f（x）≥m+x对所有的a∈［0,3/2］,x∈(1,e^2］都成立,求m范围

答案

当b=0时,f（x）=alnx若不等式f（x）≥m+x对所有的a∈［0,3/2］,x∈(1,e^2］ 都成立,
则alnx≥m+x对所有的 a∈［0,3/2］,x∈(1,e^2］都成立,
即m≤alnx-x,对所有的a∈［0,3/2］,x∈(1,e^2］ 都成立,
令h（a）=alnx-x=(lnx)a-x,则h（a）为关于a的一次函数,
∵x∈（1,e^2],
∴lnx＞0
∴ h（a）单调递增
∵a∈［0,3/2］,
∴h（a）min=h（0）=-x
∴m≤-x对所有的x∈（1,e2]都成立,
∵1＜x＜e^2,
∴-e^2≤-x＜-1,
∴m≤（-x）min=-e^2
m≦-e²