已知tanα=1,3sinβ=sin(2α+β),求⑴tanα,⑵tan(α+β),⑶tan(α+β)/2,要求详解.

题目

已知tanα=1,3sinβ=sin(2α+β),求⑴tanα,⑵tan(α+β),⑶tan(α+β)/2,要求详解.

答案

1）因为tanα=1,因此α=2π+π/4,sin(2α+β)=sin(π/2+β)=cosβ,由3sinβ=sin(2α+β)得tanβ=1/3
2）tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)=(1+1/3)/(1-1/3)=2
3)tan(α+β)=2tan(α+β)/2/(1-tan(α+β)/2^2),因此tan(α+β)/2^2+tan(α+β)/2-1=0,
因此tan(α+β)/2=(-1±√5)/2