函数与方程

题目

函数与方程
已知定义在R上的函数f(x)图像关于点(-3/4,0)对称,且满足下列条件：f(x)=-f(x+3/2),f(-1)=1,f(0)=-2,则f(1)+f(2)+f(3)+···+f(20009)的值是

答案

因为f(x)=-f(x+3/2)
f(x+3/2)=-f(x+3/2 +3/2)=-f(x+3)
所以f(x)=-f(x+3/2)=f(x+3)
所以3是f(x)的一个周期
因为f(-1)=1,f(0)=-2,那么f(2)=1,f(3)=-2
所以只要求出f(1)即可
因为(-1,f(-1))点关于（-3/4,0）对称点为（-1/2,-f(-1)）
f(-1/2)=-f(-1/2+3/2)=-f(1)=-1
得f(1)=1
所以 f(1)+f(2)+f(3)+……+f(20009)=20007（f(1)+f(2)+f(3))+f(1)+f(2)=2