如图,已知等边△ABC中,DE∥BC,FG∥BC,现将等边△ABC分别沿DE和FG对折,点A分别落在点A1和点A2,连接A2B,A2C. (1)求证:△AFG是正三角形; (2)求证:A2B=A2C;

如图,已知等边△ABC中,DE∥BC,FG∥BC,现将等边△ABC分别沿DE和FG对折,点A分别落在点A1和点A2,连接A2B,A2C. (1)求证:△AFG是正三角形; (2)求证:A2B=A2C;

题目
如图,已知等边△ABC中,DE∥BC,FG∥BC,现将等边△ABC分别沿DE和FG对折,点A分别落在点A1和点A2,连接A2B,A2C.

(1)求证:△AFG是正三角形;
(2)求证:A2B=A2C;
(3)设A1D、A1E交GF于M、N两点,若DE=
7
3
答案
(1)证明:∵等边△ABC,
∴∠A=∠ACB=∠ABC=60°,AB=AC.
∵FG∥BC,∠AFG=∠ABC=60°,
∴△AFG是正三角形.
(2)证明:由对折可知,△AFG≌△A2FG,△ADE≌△A1DE,
∴△A2FG是正三角形.
∴A2F=A2G,∠A2FB=∠A2GC=60°.
又∵AF=AG,
∴BF=CG.
∴△A2FB≌△A2GC.
∴A2B=A2C.
(3)∵∠A1MN=∠A1NM=∠MA1N=60°,
∴△A1MN是等边三角形.
又∵△DFM是等边三角形,
∴MD=FD=3-
7
3
=
2
3

∴MA1=A1D-MD=
5
3
(cm).
∴△A1MN的周长为5cm.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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