一道高中椭圆问题.

题目

一道高中椭圆问题.
已知椭圆C:x^2/3+y^2/2=1(a>b>0)的离心率为 根3/3,以 原点为圆心,椭圆短半轴为半径的圆与直线y=x+2相切.
设该椭圆的左右焦点分别为F1,F2,直线L1过F2且与x轴垂直,动直线L2与y轴垂直,L2交L1于点P,求线段PF1的垂直平分线与L2的交点M的轨迹方程,并指明曲线类型.

答案

a=根3 b=根2(Ⅱ) y^2=-4x
由椭圆C:x^2/3+y^2/2=1(a>b>0)的离心率为 根3/3
得：（1）(根a^2-根b^2)/a=根3/3=2a^2=3b^2
又以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切.
即原点到直线y=x+2的距离为b,所以b=根2代入到（1）中得a=根3
所以,a=根3 b=根2
指明曲线类型：
方法一：由a=根3,b=根2得F1,F2点的坐标分别为（-1,0）,（1,0）,
设M点的坐标为（x,y）,由题意：P点坐标为（1,y）,因为线段PF1的垂直平分线与的交点为M,所以|MF1|=|MP|=根(x+1)^2+y^2=|x-1|=y^2=-4x
故线段PF1的垂直平分线与的交点M的轨迹方程是,y^2=-4x
该轨迹是以F1为焦点,为准线的抛物线.
方法二：因为点M是线段PF1的垂直平分线与l2的交点,故M到点F1的距离与到P点距离即到的距离相等,故M点轨迹是以F1（-1,0）为焦点,为准线的抛物线,故其方程为y^2=-4x
所以,线段PF1的垂直平分线与l2的交点M的轨迹方程是y^2=-4x,该轨迹是以F1为焦点,l1为准线的抛物线.