已知三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别是a.b.c,且满足2a+2c=(根号3+1)b

题目

已知三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别是a.b.c,且满足2a+2c=(根号3+1)b
求证：2cos((A-C)/2)=(根号3+1)sinB/2

答案

证明：
∵2sin（α+β）/2cos（α-β）/2=sinα+sinβ
∴2sin（A+C）/2cos（A-C）/2=sinA+sinC
三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别是a.b.c
根据正弦定理有（a+c）/b=（sinA+sinC）/sinB
∵B=π-（A+C）
∴sinB=2sinB/2cosB/2=2cos（A+C）/2sin（A+C）/2
∴（sinA+sinC）/sinB
=[2sin（A+C）/2cos（A-C）/2]/[2cos（A+C）/2sin（A+C）/2]
=[2cos（A-C）/2]/[2cos（A+C）/2]
=cos((A-C)/2)/sin（B/2）
∵2a+2c=(根号3+1)b
∴（a+c）/b=(根号3+1)/2
∴cos((A-C)/2)/sin（B/2）=(根号3+1)/2
∴2cos((A-C)/2)=(根号3+1)sinB/2