已知函数y=x3+ax2+bx+c的图象过点P(1,2).过P点的切线与图象仅P点一个公共点,又知切线斜率的最小值为2,求f(x)的解析式.
题目
已知函数y=x3+ax2+bx+c的图象过点P(1,2).过P点的切线与图象仅P点一个公共点,又知切线斜率的最小值为2,求f(x)的解析式.
答案
y'=3x
2+2ax+b f'(1)=3+2a+b
过P点切线方程y-2=(3+2a+b)(x-1) 与y=x
3+ax
2+bx+c联立,
并注意到曲线过点P(1,2)知a+b+c=1
x
3+ax
2-(3+2a)x+2+a=0 即(x-1)(x
2+(a+1)x-2-a)=0
令(a+1)
2+4(2+a)=(a+3)
2≤0 知a=-3.
b-
=2,∴b=5,c=1-5+3=-1.
∴f(x)=x
3-3x
2+5x-1
先对函数进行求导,表示出切线方程后与原函数联立,根据切线与图象仅P点一个公共点知△≤0可求出a的值,进而得到bc的值,得到答案.
导数的几何意义.
本题主要考查导数的几何意义,即函数在某点的导数值等于其在该点的切线的斜率.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
最新试题
- there ___ a monkey and two birds on the tree.____里面写are 还是is 原因是什么.
- 酸雨主要是由于空气的二氧化硫和_____等物质引起的,主要是煤燃烧和金属冶炼厂释放的气体造成的
- 谐音歇后语括号里的是什么?
- 某工厂向银行申请甲乙两种贷款共四十万元,每年需付利息24950元,甲种贷款的年利率为6.45%,一种贷款的年利率为5.60%,请问该工厂向银行申请甲种贷款多少万元?
- 下列命题中的真命题是( ) A.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形 B.有一组对边和一组对角分别相等的四边形是平行四边形 C.两组对角分别相等的四边形是平行四边形
- 已知椭圆的焦点为F1(-√3,0)m右顶点为P(2,0)设点A(1,0.5) 若P是椭圆上的动点,求线段PA中点M的轨迹方程
- (x+1)+(x+2)+(X+3).+(x+50)=1325
- f(x)=loga(x+根号(x^2+2a^2))是奇函数,则a=?
- 海洋新能源是什么
- busy意思是?
热门考点