如图，△ABC为⊙O的内接正三角形，P为弧BC上一点，PA交BC于D，已知PB=3，PC=6，则PD=_．

题目

如图，△ABC为⊙O的内接正三角形，P为弧BC上一点，PA交BC于D，已知PB=3，PC=6，则PD=______．

答案

在PA上截取PE=PB，连接BE；
∵△ABC是等边三角形，∠ACB=APB，
∴∠ACB=∠APB=60°，AB=BC；
∴△BEP是等边三角形，BE=PE=PB；
∴∠ACB-∠EBC=APB-∠EBC=60°-∠EBC；
∴∠ABE=∠CBP；
∵在△ABE与CBP中，

∠ABE＝∠CBP ∠BAE＝∠BCP BE＝BP

，
∴△ABE≌△CBP；
∴AE=CP；
∴AP=AE+PE=PB+PC．
∵PB=3，PC=6，
∴PA=6+3=9，
∵∠BAP=∠DAB（公共角），
∠ABC=∠ACB=∠APB=60°，
∴△ABD∽△APD，
∴

AB

AP

＝

BD

BP

，
∴

AB

9

＝

BD

3

，
∴BD=

1

3

AB=

1

3

AC，
∵∠PBD=∠PAC，
∠BPD=∠APC=60°，
∴△BPD∽△APC，
∴

BP

AC

＝

PD

PC

，
∴

1 3 AC

AC

＝

PD

6

，
∴PD=6×

1

3

=2．
故答案为2．

在PA上截取PE=PB，连接BE，则有△BEP是等边三角形，由SAS证得△ABE≌△CBP，则AE=CP，得到AP=AE+PE=PB+PC，即可求出AP的值，再证明△ABD∽△APB，得到BD和AB的数量关系，再证明△BPD∽△APC，即可求出PD的值．

本题考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质；圆周角定理．

考点点评：本题通过构造等边三角形，利用等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、求出某些线段的长度，再利用相似的判定定理和性质定理去求出未知线段的长度，综合性很强．