求证 (a+b)x^3+(b+c)x^2+(a+c)x=a+b+c 在[1,0]内至少有1根

题目

求证 (a+b)x^3+(b+c)x^2+(a+c)x=a+b+c 在[1,0]内至少有1根
a+b+c不等于0

答案

设f(x)=(a+b)x^3+(b+c)x^2+(a+c)x-a-b-c
则f(0)=-a-b-c
f(1)=a+b+b+c+a+c-a-b-c=a+b+c
因为a+b+c不等于0
所以-(a+b+c)与(a+b+c) 互为相反数
就是f(0) ,f(1)有一个>0 ,一个