试证:每个大于6的自然数n,都可以表示为两个大于1且互质的自然数之和.
题目
试证:每个大于6的自然数n,都可以表示为两个大于1且互质的自然数之和.
答案
证明:直观上可以这样看,当n>6时,在2,3,…,n-2中,必有一个数A与n互质(2≤A≤n-2),
记B=n-A≥2,有n=A+B,
此时,A与B必互质,否则A与B有公约数d>1,则d也是n的约数,从而A与n有大于1的公约数,与A、n互质矛盾.
(1)当n为奇数时,
n=2+(n-2),或n=
+
(2)当n为偶数,但不是4的倍数时,n=
+
,
由n>6知
>1,且
、
均为奇数,
(
,
)=(
,4)=1.
(3)当n为偶数,且又是4的倍数时,有n=
+
,
由n>6知
>1,且
、
均为奇数,
(
,
)=(
,2)=1.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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