如图,P、Q为三角形ABC的边AB、AC上的两点,在BC上求三角形PQR的周长最短(作图并写做法)

如图,P、Q为三角形ABC的边AB、AC上的两点,在BC上求三角形PQR的周长最短(作图并写做法)

题目
如图,P、Q为三角形ABC的边AB、AC上的两点,在BC上求三角形PQR的周长最短(作图并写做法)
答案
对于BC上任意一点R来说,△PQR的周长中,PQ的长度始终没变,因此问题等价于在BC上求一点R,使PR+QR最小,这和那个课本上的建造自来水厂的问题一模一样.
作点P关于BC的对称点P',连结P'Q交BC于点R,则R是使△POQ周长最小的点.
设D是BC上异于R的任意一点
∵P、P'关于BC对称
∴PR=P'R,PD=P'D
在△P'QD中,QD+P'D>P'Q=P'R+QR
∴QD+PD>PR+QR
∴PQ+QD+PD>PQ+PR+QR
也就是,对于BC上异于R的任意一点D,都有△PQD的周长大于△PQR的周长
这说明△PQR的周长最小
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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