设f(x)在[a,b]上连续,且f(a)b,试证:在(a,b)内至少有一点P,使得f(P)=P.
题目
设f(x)在[a,b]上连续,且f(a)b,试证:在(a,b)内至少有一点P,使得f(P)=P.
答案
构造新函数F(x)=f(x)-a,由题意知此函数在[a,b]上连续
因为f(a)0
由零点存在性定理得在(a,b)内至少有一点P,使得F(p)=0
即f(P)=P
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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