设Z为虚数,求证；W=(z-1)/(z+1)=为纯虚数的充要条件是|Z|=1详解谢谢

题目

设Z为虚数,求证；W=(z-1)/(z+1)=为纯虚数的充要条件是|Z|=1详解谢谢

答案

证明：当W=(z-1)/(z+1)=ai （a≠0）时
z=（1+ai)/(1-ai)
|z|=|（1+ai)/(1-ai)|=|1+ai|/|1-ai|=1
当|z|=1时,设z=cosa+isina (sina≠0)
W=(z-1)/(z+1)=（cosa+isina-1）/(cosa+isina+1)
=-2sin(a/2)[sin(a/2)-icos(a/2)/{2cos(a/2)[cos(a/2)+isin(a/2)]}
=-tg(a/2)[sin(a/2)-icos(a/2)][cos(a/2)-isin(a/2)]
=-tg(a/2){sin(a/2)cos(a/2)-i[sin(a/2)]^2-i[cos(a/2)]^2-sin(a/2)cos(a/2)}
=itg(a/2),即W为纯虚
所以W=(z-1)/(z+1)为纯虚数的充要条件是|Z|=1