三角形ABC中,BC=2AB,∠ABC=2∠C,BD=CD求证:△ABC为直角三角形

题目

三角形ABC中,BC=2AB,∠ABC=2∠C,BD=CD求证:△ABC为直角三角形

答案

证明：
过B作角平分线BD,与AC交于D,则
∵∠ABC=2∠ACB,BC=2AB,
∴∠DBC=∠ABC,
∴△DBC是等腰三角形,
过D作DE⊥BC于E,则E同时为BC的中点,即EB=EC=(1/2)BC=AB,
∵DB=DB,∠DBC=∠DBA,
∴△DBE≌△DBA,
∴∠DAB=∠DEB=90°
即∠BAC=90°,
∴△ABC是直角三角形,
得证!