已知,P为等边三角形内一点,且BP=3,PC=4,将BP绕点B顺时针旋转60°至BP’的位置. (1)试判断△BPP’的形状,并说明理由; (2)若∠BPC=150°,求PA.
题目
已知,P为等边三角形内一点,且BP=3,PC=4,将BP绕点B顺时针旋转60°至BP’的位置.
(1)试判断△BPP’的形状,并说明理由;
(2)若∠BPC=150°,求PA.
答案
(1)△BPP’是等边三角形.
理由:∵BP绕点B顺时针旋转60°至BP′,
∴BP=BP′,∠PBP=60°;
∴△BPP′是等边三角形.
(2)∵△BPP′是等边三角形,
∴∠BPP′=60°,PP'=BP=3,∠P′PC=∠BPC-∠BPP=150-60°=90°;
在Rt△P'′PC中,由勾股定理得P′C=
=5,
∴PA=P′C=5.
由已知BP绕点B顺时针旋转60°至BP′,运用△ABC是等边三角形联想:AB绕点B顺时针旋转60°至BC,问题转化为将△ABP绕点B顺时针旋转60°至△CBP′,运用旋转的性质解题.
旋转的性质;等边三角形的性质;等边三角形的判定;勾股定理.
本题考查旋转的性质--旋转变化前后,对应线段、对应角分别相等,图形的大小、形状都不改变.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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