已知函数f（x）=lnx/2-f′（1）x+1，x∈（0，+∞）．（1）求f′（2）；（2）求f（x）的单调区间和极值；（3）设a≥1，函数g（x）=x2-3ax+2a2-5，若对于任意x0∈（0，1

题目

已知函数f（x）=ln

x

2

-f′（1）x+1，x∈（0，+∞）．
（1）求f′（2）；
（2）求f（x）的单调区间和极值；
（3）设a≥1，函数g（x）=x²-3ax+2a²-5，若对于任意x₀∈（0，1），总存在x₁∈（0，2），使得f（x₁）=g（x₀）成立，求a的取值范围．

答案

（1）∵f′(x)=1x-f′(1)，∴f'（1）=1-f'（1），f′(1)=12，则f′(2)=12-12=0；（2）由（1）知f(x)=lnx2-12x+1，导数 f′(x)=1x-12=2-x2x．∴当x＞2时，f'（x）＜0，当0＜x＜2时，f'（x）＞0．∴f（x）的单调...

（1）求出导数，令x=1，x=2，即可得到；
（2）求出导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，进而得到极值；
（3）分别求出f（x），g（x）的值域，再由题意可得它们存在包含关系，解不等式即可得到范围．

本题考点：A:利用导数研究函数的单调性 B:利用导数研究函数的极值

考点点评：本题考查导数的运用：求单调区间和求极值，考查恒成立和存在性问题，注意转化为求函数的最值或值域问题，考查运算能力，属于中档题和易错题．