设函数f（x）=根号（x²+1),它有没有反函数?若有,求出它的反函数；若没有,试改变这个函数的定义域后使它具有反函数

题目

设函数f（x）=根号（x²+1),它有没有反函数?若有,求出它的反函数；若没有,试改变这个函数的定义域后使它具有反函数

答案

原函数没有反函数,改变定义域后就可以有反函数.
情况一
当 x ≥ 0 时,这个函数有反函数.
x = √(y² + 1)
x² = y² + 1
y² = x² - 1
y = √(x² - 1)
所以 当 x ≥ 0 时 ,f(x)=√(x² + 1) 有反函数 ,
反函数是 y = √(x² - 1) ( x ≥1 )
情况二：
当 x ≤ 0 时,这个函数有反函数.
x = √(y² + 1)
x² = y² + 1
y² = x² - 1
y = -√(x² - 1)
所以 当 x ≤ 0 时 ,f(x)=√(x² + 1) 有反函数 ,
反函数是 y = -√(x² - 1) ( x ≥1 )