如图,点D、E分别是等边三角形ABC的BC、AC边上的点,且BD=CE,AD与BE相交于点F. (1)试说明△ABD≌△BCE; (2)BD2=AD•DF吗?为什么?
题目
如图,点D、E分别是等边三角形ABC的BC、AC边上的点,且BD=CE,AD与BE相交于点F.
(1)试说明△ABD≌△BCE;
(2)BD
2=AD•DF吗?为什么?
答案
(1)证明:∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=AC,∠ABC=∠BAC=∠C=60°,…(2分)
在△ABD和△BCE,
,
∴△ABD≌△BCE(SAS)(4分)
(2)BD
2=AD•DF.
证明:∵△ABD≌△BCE,
∴∠BAD=∠CBE,(1分)
又∵∠BDF=∠ADB,(2分)
∴△BDF∽△ADB,(4分)
∴
=
,
即BD
2=AD•DF.(6分)
(1)由△ABC是等边三角形,根据等边三角形的性质,即可得AB=BC=AC,∠ABC=∠BAC=∠C=60°,又由BD=CE,利用SAS,即可判定△ABD≌△BCE;
(2)由△ABD≌△BCE,可得∠BAD=∠CBE,又由∠BDF=∠ADB,即可判定△BDF∽△ADB,由相似三角形的对应边成比例,即可证得结论.
相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质.
此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角新的判定与性质以及等边三角形的性质.此题难度不大,注意数形结合思想的应用.
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