已知c>0且c≠1,设p:指数函数y=(2c-1)x在R上为减函数,q:不等式x+(x-2c)2>1的解集为R.若p∧q为假,p∨q为真,求c的取值范围.
题目
已知c>0且c≠1,设p:指数函数y=(2c-1)x在R上为减函数,q:不等式x+(x-2c)2>1的解集为R.若p∧q为假,p∨q为真,求c的取值范围.
答案
当p正确时,
∵函数y=(2c-1)
x在R上为减函数,∴0<2c-1<1
∴当p为正确时,
<c<1;
当q正确时,
∵不等式x+(x-2c)
2>1的解集为R,
∴当x∈R时,x
2-(4c-1)x+(4c
2-1)>0恒成立.
∴△=(4c-1)
2-4•(4c
2-1)<0,∴-8c+5<0
∴当q为正确时,c>
.
由题设,p和q有且只有一个正确,则
(1)p正确q不正确,∴
∴
<c≤(2)q正确p不正确∴
∴c>1
∴综上所述,c的取值范围是(
,]∪(1,+∞)
分别求出当p,q为真命题时的c的取值范围,然后由题意可得p和q有且只有一个正确,然后分两类由交集的运算可得答案.
复合命题的真假.
本题为变量取值范围的求解,涉及函数的单调性和一元二次不等式的解法,属基础题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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