三重积分∫∫∫z∧2dv,其中Ω是由球面x∧2+y∧2+z∧2=2z所围成的闭区域

题目

三重积分∫∫∫z∧2dv,其中Ω是由球面x∧2+y∧2+z∧2=2z所围成的闭区域

答案

截面法：用竖坐标为z的平面截立体,得截面为Dz：x²+y²≤2z-z²
∫∫∫z²dv
=∫[0→2] (∫∫z²dxdy )dz 里面的二重积分积分区域为Dz：x²+y²≤2z-z²
=∫[0→2] z²dz ∫∫1dxdy
被积函数为1,积分结果为区域面积,Dz面积为：π(2z-z²)
=π∫[0→2] z²(2z-z²)dz
=π∫[0→2] (2z³-z⁴)dz
=π[(1/2)z⁴-(1/5)z⁵] |[0→2]
=8π/5