若直线mx+ny-5=0与圆x2+y2=5没有公共点,则过点P(m,n)的一条直线与椭圆x27+y25=1的公共点的个数是(  ) A.0 B.1 C.2 D.1或2

若直线mx+ny-5=0与圆x2+y2=5没有公共点,则过点P(m,n)的一条直线与椭圆x27+y25=1的公共点的个数是(  ) A.0 B.1 C.2 D.1或2

题目
若直线mx+ny-5=0与圆x2+y2=5没有公共点,则过点P(m,n)的一条直线与椭圆
x2
7
+
y2
5
=1
的公共点的个数是(  )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 1或2
答案
原点到直线mx+ny-5=0的距离d=
5
m2+n2
5

∴m2+n2<5
∴点P(m,n)是以原点为圆心,
5
为半径的圆内的点
∵椭圆的长半轴
7
,短半轴为
5

∴圆x2+y2=5内含于椭圆
∴点P是椭圆内的点
∴过点P(m,n)的一条直线与椭圆的公共点数为2
故选C
先根据题意可知原点到直线mx+ny-5=0的距离大于等于
5
求得m和n的范围可推断点P(m,n)是以原点为圆心,
5
为半径的圆内的点,根据圆的方程和椭圆方程可知圆x2+y2=5内切于椭圆,进而可知点P是椭圆内的点,进而判断可得答案.

直线与圆锥曲线的综合问题.

本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系.可采用数形结合的方法较为直观.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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