怎么证明:奇数次代数方程至少有一个实根?
题目
怎么证明:奇数次代数方程至少有一个实根?
答案
单调性的角度来说,最高次项为奇数的函数,不妨设这个最高次项的系数为正的(如果为负的话,后面的单调性反过来就是了),在自变量取值充分大的时候,肯定会急剧递增;在自变量取值充分小的时候,也会急剧递减.所以,函数在负无穷到正无穷的总体趋势,函数值一定是从负无穷递增到正无穷,因此,必然会存在函数曲线与x轴的交点,所以必然至少有一个实根.
复数的角度来说,一个n次代数方程,肯定存在n个复数根(实数视为虚部为0的复数),其中不是实数的虚数根,总是和其共轭复数成对出现.也就是说,如果a+bi是一个代数方程的根,那么a-bi也一定是这个方程的根.所以,只要有虚数根,那就只能有双数个,因此,n个根中至少有一个是实数根.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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