设f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且f（a）=f（b）=1，试证存在ξ、η∈（a，b），使得eξ-η[f（η）+f′（η）]=1．

题目

设f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且f（a）=f（b）=1，试证存在ξ、η∈（a，b），使得e^ξ-η[f（η）+f′（η）]=1．

答案

证明：首先构造辅助函数：g（x）=ex（f（x）-1），则g（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导．∵f（a）=f（b）=1，∴g（a）=g（b）=1运用罗尔定理知：∃η∈（a，b），使得g′（η）=eη（f（η）+f′（η）-1）=0...