已知:如图,正方形ABCD中,对角线的交点为O,E是OB上的一点,DG⊥AE于G,DG交OA于F.求证:OE=OF.

已知:如图,正方形ABCD中,对角线的交点为O,E是OB上的一点,DG⊥AE于G,DG交OA于F.求证:OE=OF.

题目
已知:如图,正方形ABCD中,对角线的交点为O,E是OB上的一点,DG⊥AE于G,DG交OA于F.求证:OE=OF.
答案
证明:在△ADE中,
∵OA⊥DE,DF⊥AE,
∴∠FAG+∠AFG=∠ODF+∠OFD=90°.
又∵∠AFG=∠OFD,
∴∠FAG=∠ODF,
∵四边形ABCD是正方形,
∴OA=OD,
在△OAE和△ODF中,
∠FAG=∠ODF
OA=OD
∠AOE=∠DOF

∴△OAE≌△ODF(ASA),
∴OE=OF.
根据直角三角形的两锐角互余即可证得∠FAG=∠ODF,进而证明△OAE≌△ODF,根据全等三角形的对应边相等即可证得OE=OF.

全等三角形的判定与性质;正方形的性质.

本题考查了全等三角形的判定与性质,和正方形的性质,正确证明三角形全等是关键.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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