设抛物线y=-x²+Bx+C与x轴有两个交点x=a,x=b,(a

题目

设抛物线y=-x²+Bx+C与x轴有两个交点x=a,x=b,(a

答案

令g(x)=-x²+Bx+C,h(x)=f(x)-g(x)=f(x)+x²-Bx-C
那么h(a)=h(b)=0,且h(x)在[a,b]上二阶可导
h(x)在(a,b)内有一个零点,设为c
所以在(a,c)上,对h(x)运用微分中值定理,在(a,c)内存在一点ζ1,使h'(ζ1)=0
同理,在(c,b)内存在一点ζ2,使h'(ζ2)=0
再一次在(ζ1,ζ2)上,对h'(x)运用微分中值定理
在(ζ1,ζ2)内存在一点ζ,使h''(ζ)=0
而h''(x)=f''(x)+2
所以在(a,b)内存在一点ζ,使f''(ζ)+2=0
主要是微分中值定理的应用,