设f(x)在[0,1]上连续,在（0,1）内可导,且f(1)=0,试证明至少存在一点ζ∈（0,1）,使f′(ζ)=-2f(ζ)/ζ

题目

设f(x)在[0,1]上连续,在（0,1）内可导,且f(1)=0,试证明至少存在一点ζ∈（0,1）,使f′(ζ)=-2f(ζ)/ζ

答案

令F(X)=Xf(x),F(1)=1*f(1)=0,F(0)=0*f(0)=0.且F(x)在[0,1]上连续,在（0,1）内可导.
满足罗尔中值定理的条件,故存在ζ使得,F′(ζ)=0,F'(X)=f(x)+Xf'(x).故f(ζ)+ζf′(ζ)=0.
所以f′(ζ)=-2f(ζ)/ζ.
证毕.