对于定义域为D的函数y=f(x) ,若同时满足下列条件:
题目
对于定义域为D的函数y=f(x) ,若同时满足下列条件:
① f(x)在D内单调递增或单调递减;②存在区间[ a,b]属于D ,使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b];那么把y=f(x)(x属于D)叫闭函数.
(1)求闭函数y=-x^3 符合条件②的区间[a,b];
(2)判断函数f(x)=(3/4)x+1/x (x大于0)是否为闭函数?并说明理由;
(3)若y=k+根号(x+2) 是闭函数,求实数k 的取值范围.
答案
(1)显然函数y=-x^3在R上是减函数.
故区间[a,b]满足:
a<b
-a^3=b
-b^3=a
解得
a=-1 b=1
∴ [a,b]=[-1,1].
(2) 函数y=2x-lgx的定义域为(0,+∞),
取x=0.01,则y=2.02;
取x=1,则y=2;
取x=10,则y=19;
故函数不是单调递增或单调递减函数.
∴ 函数y=2x-lgx不是闭函数.
(3)函数y=k+ 根号内(x+2)是单调递增函数.若存在区间[a,b] ∈(-2,+∞ ) 符合条件(2),
则
a<b
k+根号内(a+2)=a
k+根号内(b+2)=a
有解.
即方程k+根号内(x+2)=x 有两个不相同的解.
即方程x^2-(2k+1)x+k^2-2=0 有两个不相同的不小于K的解.
∴△>0
k^2-(2k+1)k+k^2-2≥0
(2k+1)/2>1
解得- 9/4<k≤-2 ,
∴ 实数k的取值范围为- 9/4<k≤-2 .
举一反三
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