1/2(x的n次方＋y的n次方）>[(x+y)/2]的n次方（x>0,y>0,x不等于y,n>1）要求用函数图形的凹凸性证明不等式

题目

答案

根据题设,只需要证明函数:
f(x)=x^n
是下凸函数(或者说是凹函数)就可以了.
求导.
f(x)'=n*x^(n-1)
f(x)''=n*(n-1)*x^(n-2).
由于n>1,x,y>0
所以:n(n-1)>0,x^(n-2)>0.
所以:函数的二阶导数恒>0.
所以是下凸的函数,证明完成.

举一反三

已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．

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