如图所示,正五边行ABCDE的对角线AC,BE相交于M,求证四边形CDEM是菱形

题目

如图所示,正五边行ABCDE的对角线AC,BE相交于M,求证四边形CDEM是菱形

答案

证明：∵ABCDE是正五边形
∴ 它的每个内角度数(∠BAE=∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEA)=(N-2)*180度/N=(5-2)*180度/5=108度
在等腰三角形ABE中,∠ABE=∠AEB=（180度-∠BAE）/2=（180度-108度）/2=36度
同样可求得 ∠BAC=∠ACB=（180度-∠BAE）/2=（180度-108度）/2=36度
从而 ∠BMC=∠BAC+∠ABE=36度+36度=72度 ①
∠BED=∠AED-∠AEB=108度-36度=72度 ②
∠AME=∠BMC=72度 ③
∠MCD=∠BCD-∠ACB=108度-36度=72度 ④
由①②③④ 得 MC//ED,ME//CD
从而 四边形CDEM是平行四边形 ⑤
又 DE=DC(正五边形各边相等) ⑥
由 ⑤⑥ 得 四边形CDEM是菱形(邻边相等的平行四边形是菱形).