设函数f (x)是定义在R上的增函数,如果不等式f(ax^2+x-2)

题目

设函数f (x)是定义在R上的增函数,如果不等式f(ax^2+x-2)f(ax^2+x-2)

答案

f(x)为增函数,则不等式f(ax^2+x-2)等价于 ax^2+x-2①当a=1时,不等式为y=2x-3<0,解为x<3/2,在x∈[3/2,+∞)上不等式不成立
②当a>1,即a-1>0时,y=(a-1)x^2+2x-3为开口向上抛物线
在x∈[3/2,+∞)上,y<0不可能恒成立
③当a<1,即a-1<0时,y=(a-1)x^2+2x-3为开口向下抛物线
此时,<1>若△=4+4*3(a-1)<0,则y<0恒成立,解得a<2/3
<2>若△=4+4*3(a-1)≥0,则欲使y<0恒成立,只需使抛物线与x轴的右交点横坐标小于3/2即可
由△≥0可解得2/3≤a<1
由y=(a-1)x^2+2x-3=0解得,
x1=[-1+√(1+3(a-1))]/(a-1),x2=[-1-√(1+3(a-1))]/(a-1),(x1由x2<3/2可解得a<1/3,与2/3≤a<1矛盾,故△≥0时无解
综上所述,实数a的取值范围为a<2/3

举一反三

已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．

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